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MAT/05 - Analisi Matematica
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprieta` caratteristica. Connettivi e quantificatori.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprieta` principali. Operazioni e loro proprieta`. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Equazioni e disequazioni. Polinomi.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Funzioni: dominio, codominio, immagine, immagine inversa, grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche. Funzioni polinomiali.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Proprieta` dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Successioni e serie numeriche. Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Induzione matematica. Successioni aritmetiche, geometriche, di Fibonacci, algoritmo di Erone-Newton.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Definizione di limite finito e di limite infinito. Teorema dell'unicita` del limite e della permanenza del segno. Esistenza del limite di successioni monotone. Esempi di successioni che non hanno limite. Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni ("limiti notevoli").
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MAT/05 - Analisi Matematica
Calcolo Differenziale. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio. Studio di funzioni a partire da elementi grezzi. Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicita` del limite e della permanenza del segno. Proprieta` delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano-Weierstrass.
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MAT/05 - Analisi Matematica
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Piccole variazioni. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilita` e continuita`. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy). Segno della derivata e monotonia. Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavita` e convessita`. Derivata seconda e derivate successive. Punti di flesso. Teorema di de l'Hopital. Asintoti di funzioni reali. Applicazione al calcolo dei limiti.
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Calcolo Integrale. Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilita`. Integrabilita` delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Funzione integrale. Proprieta`: additivita` e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media. Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: funzioni razionali, sostituzione, parti.