Sillabo dell'insegnamento

• MAT - Crediti di MATEMATICA
MAT/02 - Algebra
GRAFI: Definizione di grafo. Grado di un vertice. Grafi completi. Sottografi, grafo complementare, isomorfismi di grafi. Cammini e loro classificazione. Grafi connessi. Componenti connesse. Geodetiche, distanza, diametro. Alberi: definizione e propriet?. Cammini e circuiti euleriani. Grafi bipartiti, grafi bipartiti completi.
MAT/02 - Algebra
NUMERI INTERI RELATIVI E CONGRUENZE: Definizione di alcune strutture algebriche: semigruppi, monoidi, anelli, campi. Elementi invertibili, cancellabili. Relazioni d'equivalenza compatibili con le operazioni. Anello degli interi. Algoritmo delle divisioni successive, identit? di B?zout. Congruenze e classi di resto. Divisori dello 0. Inversi modulo n. Risoluzione di congruenze e sistemi di congruenze.
MAT/02 - Algebra
RELAZIONI D'ORDINE E RETICOLI: Relazioni d'ordine: ordinamenti forti e deboli, totali e parziali. Massimo e minimo. Elementi massimali e minimali. Estremo superiore e inferiore. Isomorfismi di insiemi ordinati. Reticoli, distributivit?, complementi. Algebre booleane: propriet? fondamentali, legge di dualit?; struttura e cardinalit? delle algebre booleane finite.
MAT/02 - Algebra
RELAZIONI D'EQUIVALENZA: Relazioni binarie in un insieme. Relazioni d'equivalenza e partizioni. Decomposizione canonica di un'applicazione.
MAT/02 - Algebra
INSIEMI: Insiemi e sottoinsiemi. Operazioni tra insiemi: propriet?. Insieme delle parti, complementare, leggi di De Morgan. Prodotto cartesiano. APPLICAZIONI: Corrispondenze e applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni. Inversa di una applicazione biiettiva.
MAT/02 - Algebra
NUMERI NATURALI E CARDINALITA`: Numeri naturali, divisibilit?, M.C.D. e m.c.m. Numeri primi; unica fattorizzazione. Principio d'induzione (due forme). Divisione con resto. Cardinalit? di insiemi finiti. Formule fondamentali del calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, binomio di Newton.
MAT/02 - Algebra
POLINOMI: Anelli di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo. Grado. Divisione con resto. Polinomi irriducibili. Decomposizione di polinomi.M.C.D e m.c.m. di polinomi. Radici, teorema di Ruffini. Radici multiple. Cenni a estensioni algebriche semplici. Il campo complesso. Decomposizione di polinomi sul campo reale.
MAT/02 - Algebra
ALGEBRA LINEARE: Forme lineari, bilineari, multilineari, prodotto scalare. Determinante: definizione e proprieta`. Criteri per l'invertibilit? di una matrice. Matrice trasposta. Vari metodi per il calcolo del determinante. Formule di Laplace e calcolo della matrice inversa mediante i cofattori. Teorema di Cramer. Definizioni equivalenti di rango di una matrice. Soluzione dei sistemi lineari con l'uso dei determinanti
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ALGEBRA LINEARE: Somma e somma diretta di sottospazi. Dimensione della somma diretta. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari: nucleo, immagine e loro dimensione. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate. Prodotto di matrici. Matrice della composizione di due applicazioni lineari. Matrice identica. Isomorfismi e matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa mediante l'eliminazione di Gauss
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Spazi vettoriali. Combinazioni lineari. Matrici e sistemi lineari: eliminazione di Gauss. Teorema di Rouche'- Capelli.
MAT/02 - Algebra
GRUPPI: Gruppi e sottogruppi. Potenze e loro propriet?. Elementi periodici e aperiodici. Propriet? del periodo. Sottogruppi ciclici. Gruppi ciclici. Congruenze modulo un sottogruppo. Laterali, teorema di Lagrange e conseguenze. Gruppi di permutazioni. Decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti. Inversi. Parit?. Coniugio in un gruppo; permutazioni coniugate. Sottogruppi normali, gruppi quozienti (cenni) . Omomorfismi: nucleo e immagine. Isomorfismi.
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DIAGONALIZZAZIONE: Cambiamenti di base. Matrici coniugate. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione